Tema: Polinomios

Curso: Álgebra

Es la expresión matemática que esta constituida por una cantidad determinada de variables no definidas y constantes. Estas variables contienen exponentes que pertenecen a los Z+.

Por ejemplo

P(x) = 5x2+x+100

P(x,y) = 4y2+2x3-xy+2

Elementos de un polinomio

P(x) = ax2+bx3+c;

Elementos = ax2, bx3,c.

Coeficientes = a, b, c.

Termino independiente = c.

Grado de un polinomio

Es el máximo de exponentes de un grupo de monomios.

Polinomios con una sola variable

P(x) = ax2+bx5+3; Grado del polinomio 5.

Q(x) = ax+bx7+cx5; Grado del polinomio 7.

Polinomio con mas de una variable.

P(x,y) = 2x3y2+ 3x5y7+7x15y; grado del polinomio es 16; GRx = 5; GRy = 7

Q(x,y) = z10x7y2+xy2+x7y8; grado del polinomio 15; GRx = 7; GRy = 8

Polinomios mónicos

Son aquellos que tiene el coeficiente principal igual a 1.

Por ejemplo

P(x) = x2+2x+1; monomio principal x2 coeficiente 1 y grado del polinomio 2.

Q(x) = x3+x+5; monomio principal x3 coeficiente 1 y grado del polinomio 3.

Polinomio homogéneo

Aquel polinomio que tienes a todos sus monomios con el mismo grado absoluto.

Por ejemplo

P(x,y) = 2x3y6+5x9+6x2y7+6y9; grado del polinomio 9, además cada monomio posee el mismo grado.

Q(x,y) = 4xy2+x3+x2y; grado del polinomio 3.

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene del mayor exponente al menor exponente en cada monomio.

Por ejemplo

P(x) = 5x4+3x+2x4+x2; es un polinomio completo, ya que encontramos x,x2,x4,x4.

Q(x,y) = 3x3y+y2+2x2+x; es un polinomio completo, ya que encontramos x3,x2,x y y,y2.

Polinomio ordenado.

Es aquel polinomio que tiene a sus elementos ordenados de forma ascendente o descendente respecto a una variable.

Por ejemplo

P(x) = 5x4+2x2; ordenado descendentemente.

Q(x,y) = x6y+x5y2+xy7; x ordenado descendentemente, y ordenado accedentemente.

Valor numérico

Es el resultado del polinomio cuando las variables toman un valor en especifico.

Por ejemplo

P(x) = x4-x+7;

Para x = 2 => P(2) = 24-2+7 = 21. Su valor numérico es 21

Para x = 1 => P(1) = 14-1+7 = 7. Su valor numérico es 7.

Cambio de variables.

Lo usamos para reemplazar la variables por otras.

Por ejemplo

P(x) = 2x+1; si colocamos a x por (x+1)

P(x+1) = 2(x+1)+1 = 2x+3

P(x) = x2+x5+2; si cambiamos x por (-x)

P(-x) = (-x) 2+(-x) 5+2= x2-x5+2.

Teoremas

  1. Suma de coeficientes de un polinomio es cuando todas sus variables toman el valor de 1.

Por ejemplo

P(x) = 5x2+2x+1 => Suma de coeficientes es P(1) = 5(1)2+2(1)+1 = 8.

Q(1,1,1) = 2x3y2+5zy+5x => Suma de coeficientes es Q(1,1,1) = 2(1) 3(1) 2+5(1)(1)+5(1) = 12.

  1. El coeficiente independiente se obtiene cuando todas sus variables son iguales a 0.

Por ejemplo

P(x) = 3x3+2x+7 => El coeficiente independiente es P(0) = 3(0) 3+2(0)+7 = 7.

Q(x,y) = 4x7+2y => El coeficiente independiente es Q(0,0) = 4(0) 7+2(0) = 0.