Tema: Productos notables

Curso: Álgebra

Es el resultado de la multiplicación algebraica entre polinomios.

Por ejemplo

A(x)B(x) = C(x)

Primero debemos tener en cuenta las siguientes propiedades.

  • b = b.a
  • a(b+c) = ab+ac
  • (x-y)z = xz-yz
  • (a+b)(c+d) = ab+ad+bc+bd
  • aman = am+n

Por ejemplo

A(x) = x+1; B(x) = x-2; C(x) = A(x)B(x)

Hallando C(x)

C(x) = (x+1)(x-2) = (x)( x) + (x)( -2) + (1)( x) + (1)( -2) = x2-2x+x-2 = x2-x-2.

=> C(x) = x2-x-2

 

A(x) = 5x2+x+4; B(x) = 4x3-x-5; C(x) = A(x)B(x)

Hallando C(x)

C(x) = (5x2+x+4)(4x3-x-5) = (5x2)(4x3) + ( 5x2)(-x) + ( 5x2)(-5) + (x)(4x3) + (x)(-x) + (x)(-5) + (4)(4x3) + (4)(-x) + (4)(-5)

C(x) = 20x5-5x3-25x2+4x4-x2-5x+16x3-4x-20 = 20x5+4x4+11x3-26x2-9x-20

=> C(x) = 20x5+4x4+11x3-26x2-9x-20

Teoremas

  • Si A(x) tiene grado m y B(x) tiene grado n => Si C(x) = A(x)B(x) El grado de C(x) es m+n
  • Si A(x) tiene grado m; C(x) = (A(x)) n => El grado C(x) es m.n

Princiaples productos notables

Trinomio cuadrado perfecto

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a-b)2 = a2-2ab+b2

Identidades de Legendre

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

(a+b)4 + (a-b)4 = 8ab(a2+b2)

Identidad de Lagrange

(ax+by) 2 + (ay-bx) 2 = (a2+b2)(x2+y2)

Diferencia de cuadrados

(a+b)(a-b) = a2-b2

(am+bn)(am-bn) = a2m-b2n

Trinomio al cuadrado

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)

Multiplicación de binomios con termino común

(x+a)(x+b) = x2+x(a+b)+ab

Binomio al cubo

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Suma y diferencias de cubos

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

Identidad trinómica (Argan`d)

(x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1

(x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y4

Identidad de Gauss

a2+b2+c2-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

(a+b)(b+c)(a+c) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ac)

x4+4 = (x2+2x+2)( x2-2x+2)

Igualdades condicionadas

Si a+ b+c = 0; se cumplen las siguientes relaciones:

  • a² + b² + c² = –2(ab+bc+ca)
  • a³ + b³ + c³ = 3abc
  • a4 + b4 + c4 = 2(ab+bc+ca)² =½(a²+b²+c²)²
  • a5 + b5 + c5 = –5abc(ab+bc+ca)
  • a6 + b6 + c6 = 3(abc)² – 2(ab+bc+ca)3
  • a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+bc+ca)²
  • 3(a²+b²+c²)(a5+b5+c5) = 5(a³+b³+c³)(a4+b4+c4)